因果集合理論

集合 \(C\) と関係 \(\prec\) の組 \((C,\prec)\) が因果集合であるとは，次の条件を満たすことをいう：

\[ x \prec y \ \text{かつ} \ y \prec x \Rightarrow x = y \]

（反対称性）

\[ x \prec y,\ y \prec z \Rightarrow x \prec z \]

（推移性）

\[ |I[x,y]| < \infty \]

（局所有限性）

因果集合 \((C,\prec)\) において，2点 \(x,y \in C\) に対して，

\[ I[x,y] := \{ z \in C \mid x \prec z \prec y \} \]

を因果区間という。

点 \(x \in C\) に対して，

\[ \mathrm{Fut}(x) := \{ y \in C \mid x \prec y \} \]

を \(x\) の未来という。

点 \(x \in C\) に対して，

\[ \mathrm{Past}(x) := \{ y \in C \mid y \prec x \} \]

を \(x\) の過去という。

点 \(x,y \in C\) に対して，

\[ A[x,y] := \mathrm{Fut}(x) \cap \mathrm{Past}(y) \]

を Alexandrov 区間という。

集合 \(C\) の濃度を

\[ |C| \]

と書き，要素の個数を表す。

因果集合理論においては，連続時空の体積は点の数によって与えられると考える：

\[ \text{Volume} \sim |C| \]

すなわち，「体積は要素数に比例する」という対応が基本原理である。